Corrige EDHECL Mathematiques 2005 HEC S

EDHEC 2005 : option S Corrigé de l’épreuve de mathématiques Exercice 1 1) a) Im tr est un sous-espace vectoriel de IR, il est donc soit de dimension 0 et Im tr est alors réduit au seul réel 0, soit de dimension 1 et Im tr est alors égal à IR . Comme tr(I ) = n ≠ 0, on en conclut que la première possibilité n’est pas recevable. En conclusion : Im tr = IR. b) D’après la formule du rang, on a : dim M (IR) = dim Im tr + dim Ker tr. nComme dim Im tr = 1, on a : 2dim Ker tr = n – 1. c) En premier lieu, il faut noter que Ker tr et Vect(I) sont deux sous-espaces de M (IR). nD’autre part, la matrice I n’étant pas la matrice nulle, on a : dim Vect(I) = 1, ce qui permet d’écrire : dim M (IR) = dim Ker tr + dim Vect(I). nIl reste donc à montrer que Vect(I) ∩ Ker tr = {0}. Soit donc M une matrice appartenant à Vect(I) ∩ Ker tr. Comme M appartient à Vect(I), il existe un réel α tel que M = α I et on a tr(M) = n α. Comme, de plus, M appartient à Ker tr, on obtient n α = 0. L’énoncé indiquant que n est supérieur ou égal à 2, on a donc α = 0, ce qui, en remplaçant, donne M = 0. On vient de montrer que : Vect(I) ∩ Ker tr ⊂ {0}. L’inclusion réciproque étant évidente (tous les espaces vectoriels contiennent le vecteur nul), on a bien : M (IR) = Ker tr ⊕ Vect(I). n 2) a) Soit M et N deux matrices de M (IR) et λ un réel. nf ( λ M + N) = ( λ M + N) + tr( λ M + N) I. Par linéarité de la trace, on obtient : f ( λ M + N) = ( λ M + N) + λ tr(M) I + ...