Corrige CCP Mathematiques 1 2000 PC

66666CCP 2000 - Option PC - Maths 1Partie I0 0 0 01) a) On note C ; :::; C les colonnes de A , C ; :::; C ; C ; :::; C celles1 n 1 n n+1 2n Ck0de M , avec : C = pour 1 k n . Si A est non inversible , sesk 0n;1colonnes sont liees : 9( ; ::; ) = (0; :::; 0) tq C ++ C = 0 . Alors1 n 1 1 n n n;10 0 0 0 C ++ C = 0 , donc la famille (C ; :::; C ) est liee , donc la famille1 n 2n;11 n 1 n0 0 0 0(C ; :::; C ; C ; :::; C ) aussi , donc M est non inversible .1 n n+1 2n I Bnb) XP = M , X =0 Cp;nc) On calcule les determinants de X et P en developpant suivant les npremieres colonnes de X et les p dernieres colonnes de P : det(X) = det(C) etdet(P) = det(A)2) Soit k = dim(F) . On prend une base de F , qu’on complete en unenbase de R . F etant stable par u la matrice de u dans cette base est de laforme M , ou A est la matrice de v dans la base choisie de F . On a alors xI A Bk: (x) = det = det(xI A) det(xI C) etu k n k0 xI Cn k;k n k (x) = det(xI A) . Conclusion : divise v k v u3) F (x) est non vide et stable par CL , et : y2 F (x))9P 2R[X] tq y =u uP(u)(x) . Alors u(y) = Q(u)(x) avec Q(X) = XP(X) . Donc u(y) 2 F (x) .uConclusion :nF (x) est un SEV de R stable par uun4) a) La famille (x; u(x); :::; u (x)) comporte n + 1 vecteurs dans un EV dekdimension n , donc est liee , donc l’ensemble fk 2 N = (x; u(x); :::; u (x)) lieegn’est pas vide . Il est inclus dans N donc admet un plus petit element q , etq n . (x = ...