Corrige CAPESINT Mathematiques 2009 CAPES MATHS

. ........................................................................................................... .CAPESinterne2009deMathématiquesCORRIGÉMartialLENZENwebmaster@capes-de-maths.com. .............................................................................................................Lesmathématiquessontunegymnastiquedel’espritetunepréparationàlaphilosophie−Isocrateqp//////////2 CAPESinterne2009Problème1:LethéorèmedeMorleyC’est un théorème qui permet de fabriquer de la symétrie à partir de rien. Il a été démontrépar Frank Morley en 1898, et on peut l’énoncer comme ceci : « Dans un triangle non plat,trois points pris parmi les points d’intersection des trisectrices issues des sommets du triangleforment un triangle équilatéral. »Ce problème en propose trois démonstrations différentes. Les trois parties sont indépen-dantes et les résultats de l’une ne peuvent donc pas être utilisés dans l’autre.NotationsOn travaille dans le plan affine euclidien. bSi O, A et B sont trois points du plan (avec A6ÆO et B6ÆO), on note AOB (ou BOA, ou Os’il n’y a pas d’ambiguïté) l’angle géométrique saillant (mesuré dans [0,π]) délimité par lesdemi-droites [OA) et [OB). Par abus de notation, on note encore AOB la mesure en radians de l’angle AOB.Soit d une droite du plan passant par O, on dira que d est une trisectrice de l’angle géomé-trique AOB si et seulement s’il existe un point M de d, distinct de O, tel que1 2ƒ ƒ AOM= AOB ou AOM= AOB3 ...