Corrige CAPESINT Mathematiques 2008 CAPES MATHS

. ........................................................................................................... .CAPESinterne2008deMathématiquesCORRIGÉMartialLENZENwebmaster@capes-de-maths.com. .............................................................................................................Lesmathématiquessontunegymnastiquedel’espritetunepréparationàlaphilosophie−Isocrate2 CAPESinterne2008Problème1Ce problème a pour objet une approche du paradoxe de Bertrand.Notations : Dans le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (0;~ı,~). Cdésigne le cercle de centre O et de rayon R, R étant un réel strictement positif donné.PartieI:ÉtudedespropriétésdestriangleséquilatérauxinscritsdanslecercleCI.1 Soit A un point donné du cercleC. Construire à la règle et au compas un triangle équi-latéral ABC inscrit dans le cercle C. Préciser les étapes successives de la construction.On place un pointO, on trace le cercleC de rayon choisiR > 0. On place ensuite un point A sur ce cercle, puisA1B sans refermer le compas, on reporte autant de fois quenécessaire la longueurOA sur le cercle afin de revenir aupoint A.Onnommelespointsrespectivement A ,B,B ,C1 1etC .1Pourquoicelamarche?× × AB1 Les égalitésOA= AA etOA=OA impliquent que le tri-O 1 1ƒangleOAA estéquilatéral,donc AOA =π/3(onraisonne1 1en angles géométriques). On montre de la même manièreƒ ƒ ƒ ƒque A OB = BOB = B OC = COC = π/3. Puisque la1 1 1 1sommedesanglesautourdupointO estégaleà2π ...