Corrige CAPESINT Composition de mathematiques 2008 CAPES MATHS

CAPES INTERNE 2008 ; Corrig´e.Probl`eme 1 Pour les figures voir l’´enonc´e du probl`eme.1 Partie I1. En prolongeant le segment [AO] au dela` de O on obtient A” diam´etralement oppos´e `a A surC.On trace ensuite le cercle de centre A” de rayonR qui coupeC en les points B et C cherch´es.2. Les relations AB = AC et OB = OC impliquent que (AO) est la m´ediatrice du segment [BC] et passe′donc parA . (AO) est la m´ediane issue deA et de mˆeme (BO) (resp. (CO)) est la m´ediane issue deB (resp.AO 2 3AO′de C). Sachant que O est alors le centre de gravit´e du triangle ABC on a : = , puis AA = ,′AA 3 22 2 √L 9R2 3.enfin par PythagoreL = + . D’ou` L =R4 4√3. Les coˆt´es de ces triangles ont tous une longueur de R 3. Selon que ces triangles sont ou non demˆeme orientation on passe de l’un a` l’autre par la rotation de centreO amenant A en U ou par la sym´etried’axe la m´ediatrice de [AU].′4. On a d´eja` vu que (AA ) est la m´ediatrice du coˆt´e [BC] et aussi la m´ediane issue de A ; ´etant perpen-diculaire a` (BC) c’est la hauteur issue de A. Enfin les points B et C sont ainsi sym´etriques par rapport a`′ ′′ ′\ \ \(AA ), les droites (AB) et (AC) le sont aussi et BAA =CAA ; (AA ) est la bissectrice de l’angle BAC.4πR 2πR5. Selon que l’arc choisi contient ou non le point A sa longueur vaut respectivement ou .3 32 Partie II[ [ [ [ [ [ [1. Dans le 1er cas on a OAJ =OAC =OAP +PAC≥OAI, d’ou` AI =RcosOAI≥RcosOAJ =AJ.On en d´eduit AP = 2AI≥ 2AJ =AB =L.En intervertissant ...