Corrige BTSOPTI Mathematiques 2003

demonstratum”, même sens, sert à indiquer la fin des longs calculs ou des longues SE 2003, corrigédémontrations. Dans certains livres on met aussi un point • ou un carré .EXERCICE 1 Calcul des premiers termes:PARTIE A 1 1I = −1 I =0 I = I =0 I = − I =0π 1 2 3 4 5 6π 1 1 π⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 3 5I = cos nx dx = sin nx = sin nπ −sin n( ) ( ) ( )πn ⎜ ⎟∫ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎧π ⎝ ⎠⎝ ⎠n n 2⎣ ⎦2 ⎪0sinpair2 ⎪1⎪Note: pour le terme général, on peut écrire que I = − sin=1+4k mais c’est juste pour l’info…⎨n1 π⎛ ⎞ n⎪I = − sin nn ⎜ ⎟ ⎪1sin =3+4k⎝ ⎠n 2 ⎪⎩npour l’autre intégrale une intégration par parties sera nécessaire π 1 π 1J = −1 J = − J = − − J =01 2 3 42 2 6 9Pour les parties on dispose des deux formules suivantes: π 1 −1J = − J =5 610 25 18uv′ = uv − u′v et u′v= uv − uv′[ ] [ ]∫ ∫ ∫ ∫ ⎧ 0sin=4k⎪ π 1⎪ − sin =1+4k2⎪2n n⎪Note: pour le terme général, on peut écrire que J = mais c’est juste pour l’info…Ici donc: n ⎨ 2− sin=2+4k⎪ 2nπ ⎪π π π 12 ⎪1 1⎡ ⎤ − − sin =3+4k22 2 ⎪⎩ 2n nJ = xcos(nx)dx = x sin(nx) − sin(nx)dxn ∫ ⎢ ⎥ ∫0 0n n⎣ ⎦0PARTIE Bππ nπ 1⎛ ⎞ 2 1) tracé de la courbe;J = sin −0− sin nx dx( )n ⎜ ⎟ ∫0⎝ ⎠2n 2 nπ2π nπ 1⎛ ⎞ ⎡ ⎤J = sin − − cos(nx)⎜ ⎟n 2⎢ ⎥⎝ ⎠2n 2 n⎣ ⎦ π0 12)a) a = f(t)dtπ 0 ∫π nπ 1 −π⎛ ⎞ 2π2J = sin + ⎡cos(nx)⎤n ⎜ ⎟ ⎣ ⎦2 2π0 note: on a le choix des bornes, il suffit d’intéger sur un intervalle de largeur . Comme la fonction est ⎝ ⎠2n 2 n paire, ce choix est le plus judicieux, car on peut écrire:π1π nπ 1 ⎛ nπ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a = 2 × f(t)dt par symétrieJ = sin + cos −1 cqfd. 0 ...