Corrige BTSCIRA Mathematiques 2004

Suites arithmético géométriques, méthode 1: SE 2005, corrigéOn peut essayer de chercher par nous-mêmes: x n −2x n−1 =e n ⇔x n =2x n−1 +1pour n>0 on obtient: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Pour passer d’un terme au EXERCICE 1 suivant on multiplie par 2 et on ajoute 1.u =au +bEn notations purement mathématiques on écrit ceci et ici dans ce cas n+1 nu =2u +1précis cela donne donc .n+1 nfonction échelon unité: Il y a une formule, hors programme de BTS mais pas pour autant super compliquée; n1−a n n n n+1u =b +a u u =2 −1+2 u =2 −1elle dit que . Vous pouvez remplacer on trouve .n 0 n 01−aBien sûr l’énoncé va vous guider pour retrouver ce résultat.Nota: pour visualiser ce genre de suite un tableur peut être utile n→e n( )A B100schéma du problème: 1 12 3 =2*A1+13 74 15?5 316 6307n→x n 127n→e n ( )( ) 8 255PARTIE 1 y n =x n +1 x n −2x n−1 =12)a)b) on pose ( ) ( ) , et on remplace dans ( ) ( ) , x n −2x n−1 =e n( ) ( ) ( ) on obtient donc:attention, les parenthèses ne correspondent pas à un, produit, mais à deux fonctions,  y n −1−2 y n−1 −1 =1⇔y n =2y n−1( ) ( ) ( ) ( ) x −2x =ex prise en n, x prise en n-1, et e prise en n. On aurait pu écrire aussi .n n−1 ny 0 =x 0 +1 =2La suite y est donc géométrique, avec d’où le terme ( ) ( )1)a) La réponse tient dans le fait que x est un signal causal, c’est-à-dire n+1général de la suite y, qui est:y n =2 e n , on en déduit celui de la ( ) ( )x n =0que pour n<0.( ) n+1suite x, qui est: x n =y n −e n = 2 −1 e n .( ) ( ) ...