Corrige BPT Mathematiques B 2006 PT

Banque PT 2006 — épreuve BPartie IQuestion I.10 0On reconnaît la déition bifocale d’une ellipse de foyers F et F . Comme l’axe (xx) est l’axe focal et0que le milieu deF etF est enO, on a la chance d’être dans le repère habituel de travail, où l’équation de2 2 p√x y 0 2 2l’ellipseestréduite,souslaforme + = 1avecici 2a = 6et 2c =FF = 2 5.Alorsb = a −c = 2.2 2a b√c 5L’excentricité de l’ellipse est e = = .a 3Question I.22 2x yL’équation de l’ellipse est + = 1.9 4Question I.3p pds0 2 2~ 2Au point M(t), on a M (t) = (−3 sint, 2 cost) donc = 9 sin t + 4 cos t = 4 + 5 sin t etdt1 1~ ~T = p (−3 sint, 2 cost), donc N = p (−2 cost,−3 sint).2 24 + 5 sin t 4 + 5 sin t~ ~ dT dT ds 1 6~Alors = = − (12 cost, 18 sint) = γN donc γ = et2 22 3/2ds dt dt (4 + 5 sin t) (4 + 5 sin t)2 3/2(4 + 5 sin t)R = .6Question I.4Alors le centre de courbure a pour coordonnées :824 + 5 sin t 5 cost 5> 2 3 4 + 5 sin t 5> 3:y = 2sint− sint =− sin tI2 2Question I.5Γ est le lieu du centre de courbure : c’est la développée de l’ellipseE.Quand t décrit [0,π/2], x (t) décroît de 5/3 à 0 et y (t) décroît de 0 à−5/2.I I85 5 2 3> 3 3:y =− t +o(t )I20la courbe Γ présente une tangente horizontale de rebroussement de première espèce.85 3 3> 2 3 ...