CND 2004 mathematiques specifique

SESSION 2004 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. +∞2−xUn calcul de l’intégrale de Gauss, I = ed x ∫0 +∞2− xLe but du problème est de calculer l’intégrale de Gauss, I = ed x en utilisant une suite de ∫02− xfonctions qui converge vers x a e . Les deux premiers paragraphes sont indépendants, le troisième paragraphe utilise les résultats démontrés dans les deux paragraphes précédents. Questions préliminaires 1. Montrer que l’intégrale I est bien définie. 2. On définit sur 0,1 la fonction Ψ par Ψ()tt=+ln(1−t). [[a. Etudier les variations et le signe de Ψ . b. Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de Ψ . I. Un équivalent des intégrales de Wallis et une application Pour tout entier naturel n, on définit la suite des intégrales de Wallis (I ) par : nπ2n I = sin xxd . n ∫0Tournez la page S.V.P. 2 3. Une relation de récurrence a. Calculer I et I . 0 1b. Justifier que (I ) est une suite de réels strictement positifs. nnc. ...