CND 2003 mathematiques commune

SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les trois exercices sont indépendants. Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction ; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle. n 1Exercice I – Un développement asymptotique de H = . n ∑ kk=1 1. Un équivalent de H n n 1 Soit n un entier naturel non nul, on pose H = . n ∑ kk=1k+ 11 1 1a. Si k est un entier non nul, montrer que : ≤ dt ≤ . ∫kk + 1 t k1b. En déduire l’encadrement suivant : ln n+ ≤ H ≤ ln n+ 1. nnc. Donner un équivalent de H en + ∞ . n 2. Suites adjacentes Soit deux suites de réels (v ) et (w ) adjacentes c’est-à-dire que : n n )(v est croissante, (w ) est décroissante et lim (v − w ) = 0 . n n n nn→+∞a. Montrer qu’il existe un entier naturel n tel que, pour tout entier n≥ n, 1v ≤ w + . 0 0 n n En déduire que la suite (v ) est majorée. nb. Montrer de même que la suite (w ) est minorée. nc. En ...