CCSE 2004 mathematiques 2 classe prepa tsi

MATHÉMATIQUES II Filière TSIMATHÉMATIQUES IIDans tout le problème, Π est un plan euclidien orienté rapporté à un repèreorthonormé direct ()O; i, j . On rappelle que les déplacements de Π sont lesrotations et les translations de ce plan. On notera Id l’identité de Π .πLes matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note M()IR l’ensemblendes matrices carrées à n lignes.tOn désigne par A la transposée de la matrice A .Si A est une matrice carrée, on désigne par det ()A son déterminant et siAM∈ ()IR , on convient d’appeler écriture de A par blocs l’écriture3PQA = ,RSq1où PM∈ ()IR , Q est de la forme , R est de la forme , et S est de lar r2 1 2q2forme []s, avec , q ,q r, r, s réels.1 2 1 2La matrice identité de M()IR est notée I .2Partie I - Questions préliminairesI.A - Les matrices AA, ′ et leur produit AA ′ appartiennent à M()IR ; on les3écrit par blocs : PQ P ′ Q ′ XYA = A ′ = AA ′ =RS R ′ S ′ ZTI.A.1) En prélevant dans les matrices AA et ′ les termes utiles, calculer lesdeux termes de la matrice YY et montrer que =PQ′ + QS ′ .Des calculs analogues prouveraient que PP ′ + QR ′ PQ ′ + QS ′AA ′ = , ce que l’on admettra.RP ′+ SR ′ RQ ′ + SS ′I.A.2) Donner sans justification l’écriture par blocs de la transposée de A .Concours Centrale-Supélec 2004 1/7MATHÉMATIQUES II Filière TSIFilière TSII.B - 2I.B.1) On suppose que le couple ()X , X forme une base orthonormée de IR1 2et que X et X sont des vecteurs propres pour une certaine ...