CCSE 2004 mathematiques 2 classe prepa psi

MATHÉMATIQUES II Filière PSIMATHÉMATIQUES IINotations et objectifs du problèmeDans tout ce problème, Ed est un espace vectoriel euclidien de dimension ≥ 1 .Le produit scalaire de deux vecteurs uv et de E est noté ()uv, la norme duvecteur uu est notée .L’espace des endomorphismes de E est noté LE() . Le composé de deux élémentsfg et de L()E est noté indifféremment fg ou f o g et l’identité I . L’adjoint deE∗ff est noté ; on rappelle qu’il est caractérisé par la propriété suivante :2 ∗∀()uv, ∈ E, .()fu v =()ufvSi fL est un élément de E, Trf désigne la trace de fp. Le composé de exem-p 0plaires de ff est noté (avec, par convention, f = I ). Si F est un sous espaceEde Ef stable par , l’endomorphisme induit par f sur F est noté f .FOn notera SE() l’ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints)+de ES et ()E le sous ensemble de SE() constitué des endomorphismes symé-triques dont les valeurs propres sont positives.On rappelle que, si txa ()t est une application de IR dans E et()e =()e,,e …,e une base de Ex, par rapport à laquelle les coordonnées de ()t1 2 dsont ,xt xt,,…x ()t :1 2 dd∀t ∈ IR,xt()= x()t e∑ i ii = 1kalors xC est de classe sur IR , si et seulement si, pour tout entier i ∈{}12,, …,dkl’application txa ()t est une application de classe C de IR dans IR .iSoit fL un élément de ()E et x un élément de E . On considère l’équation 0⎧ dx ------- = fx()⎪ dt P()f , x ⎨0⎪ x()0 = x0⎩1dont l’inconnue xt est la fonction ax()t ...