CCSE 2004 mathematiques 2 classe prepa mp

MATHÉMATIQUES II Filière MPMATHÉMATIQUES IIObjectif du problèmeCette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans leproblème. Ce dernier ne commence qu’à partir du I.Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de Fermat par AndrewWiles, les « courbes elliptiques » jouent un rôle central par le biais de l’action dugroupe SL()Z Z sur le demi-plan ouvert H ={}z ∈ CI : Imz() > 0 .2En effet, il se trouve que l’ensemble des courbes elliptiques sur le corps CI est enbijection (à un CI -isomorphisme près) avec l’ensemble des réseaux de CI (à unesimilitude près), lui même en bijection avec l’ensemble des orbites du demi-plan H sous l’action de SL()Z Z . Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers2ensembles que nous proposons d’étudier dans ce problème.Partie I - Matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiersabSoit M()Z Z l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients dans2cdl’anneau Z Z des entiers relatifs.Dans les parties I, II, III, les lettres ab, , c , d désignent des éléments de Z Z . Onpose :10I = .201I.A - Démontrer que l’ensemble M()Z Z est un anneau.2I.B - I.B.1)GL()Z Z des éléments de M()Z Z inversi-22bles dans M()Z Z est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des uni-2tés de l’anneau M()Z Z .2I.B.2) Montrer queab ∈ GL()Z Z si et seulement si ad–1bc = .2cdConcours Centrale-Supélec 2004 1/7MATHÉMATIQUES II Filière MPFilière MPI.C - On pose⎧⎫abSL()Z Z = ∈ ...