CCSE 2004 mathematiques 1 classe prepa psi

MATHÉMATIQUES I Filière PSIMATHÉMATIQUES INotations, définitions∗Si IF est un intervalle, une application de I dans , n un élément de IN , onn 0pose F = Foo… F (composé de nF fois ) ; on convient que F= Id . Si IJ et Isont deux intervalles de IR et FI dans JF, on dit que est1un C -difféomorphisme de IJ sur si et seulement si F est une bijection de1 1classe C de IJ sur dont la réciproque est elle aussi de classe C. On rappelle1que, pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que F soit de classe , que la déri-vée F ′ de FI ne s’annule pas sur , et que F()I= J .On désignera par ε l’ensemble des couples ()If, où I est un intervalle de IR de∞la forme []0, r avec r > 0 et fC une application de classe de I dans lui-mêmevérifiant :i) ,f()0 = 0 ii) ,∀xI∈ \0{}fx() < x,iii) ,∀xI∈ f ′()x > 0.Si ()If, et ()Jg, sont dans ε , on dit que ()If, et ()Jg, sont conjugués si, et seu-+∗lement si, existent deux réels rr et ′ dans IR tels que []0, r ⊂ I , []0, r ′ ⊂ J et1un C -difféomorphisme croissant h de []0, r sur []0, r ′ tel que :–1∀y ∈[]0, r ′ , .gy()=hfooh()yEnfin, si λ est dans ]01, ] , ε désigne l’ensemble des couples ()If, éléments deλε tels que f ′ 0()= λ .Objectif du problèmeLe but du problème est de prouver que si λ est dans ]01, ] , alors deux élémentsquelconques de ε sont conjugués puis d’étudier le problème de la conjugaisonλdans . ε1Dépendance des partiesLe résultat du I.D est utilisé dans les parties II et III. Les parties II et III ...