CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa psi

CCPPSI 2005 -Math¶ematiques 2Dur¶ee : 4 heurescalculatrices autoris¶eesNotations et objectifs:² Rde¶signe l'ensembledesnombresre¶els, Cd¶esignel'ensembledesnombrescomplexes. Pour¸ 2 C,onnote j¸j lemodulede¸.² M (C)de¶signe l'espacedes matricesµadeux ligneset deuxcolonnes,aµcoe±cientscomplexes.2² M = (m ) ¶etant une matrice aµ coe±cients complexes, on note M = (m ) la matrice dont lesi;j i;jtcoe±cientssont les conjugu¶esdescoe±cientsdeM. Lamatricetranspose¶edeM estnot¶ee M.µ ¶1 0² PourM 2 M (C),onnotedet(M)led¶eterminantdeMettr(M)latracedeM. OnnoteI = .2 2 0 1Leproblµemeportesur l'¶etudedes sous-ensemblesde matricesde M (C)et conduitµa d¶e¯nir, par des2matricesde M (C),desrotationsd'unespace euclidiendedimension3.22Dans lapremieµrepartie , ond¶e¯nitunproduitscalairesur l'espacecomplexe C .Dans ladeuxiµemeet latroisiµemepartie , on¶etudiedessous-ensemblesdematricesde M (C).2Dans la quatriµeme partie, on d¶e¯nit une structure euclidienne sur un sous-ensemble de matrices deM (C)eton¶etudiedesautomorphismes decetespaceeuclidien.2Danstout leprobleµme, des questionsdecalcul peuvente^tretrait¶ees inde¶pendammentdesautres ques-ions.Partie I2Onnote C le C-espace vectoriel des couples de nombrescomplexes. Les deux vecteurse =(1;0) et12 2e =(0;1)de C formentunebase B=(e ;e ) de C appele¶ebasecanonique.2 1 2 µ ¶ µ ¶a c2Etantdonn¶edeux vecteursx=(a;b), y=(c;d) de C , de matricesX = , Y = relative-b dtmentaµlabasecanonique, ond¶e¯nitleproduitscalaire(xjy)=ac+bd= ...