CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa mp

RACINES CARREES DE MATRICESNotations.Danscesujet,n estunentier naturelnonnuletonnote :M (R) la R-algµebredes matricescarr¶eesre¶ellesdetaillen.nM (R) le R-espace vectoriel desmatricesµan ligneset unecolonne.n;1GL (R) legroupedes matrices inversiblesdeM (R).n nI lamatriceunit¶e deM (R).n nnId l'application identit¶ede R .tPourunematriceA 2M (R), Aestsamatricetranspos¶ee.nS (R) lesous-espace vectoriel des matricessym¶etriquesdeM (R).n n+S (R) le sous-espace vectoriel des matrices sym¶etriques positives de M (R), c'est aµ dire des matrices AnntdeS (R) v¶eri¯ant : pourtoute matriceX 2M (R); XAX ¸0.n n;1Si x ;:::;x sont des re¶els, on note diag(x ;:::;x ) la matrice diagonale de M (R) qui admet pour1 n 1 n ncoe±cientsdiagonaux lesre¶els x ;:::;x danscetordre.1 npSi pestunentiernaturelnonnul,onnotera k:k lanorme in¯niesur R1Si x=(x ;:::;x ), kxk =max jx j.1 p 1 1·i·p ipSi a 2 R et r>0,onnoteB (a;r) labouleouvertedecentre aderayonrpour lanorme k:k .1 1Objectifs.2SoitAunematricedeM (R), ondit qu'une matriceRdeM (R)est uneracinecarr¶eesdeAsi R =A.n n2OnnoteRac(A) l'ensembledesracinecarre¶esdeA,c'estµadireRac(A)= fR 2M (R)=R =AgnLe probleµme propose de de¶terminer les racines carr¶ee de A dans di®¶erents exemples, (on pourraconstater qu'une matrice peut parfois admettre une in¯nite¶ de racines) et e¶tudier quelques propri¶ete¶stopologiques deRac(A).Lestroispartiesduproblµemesontind¶ependantes.Lestroispremiersexemplesde lapartieI sonttous ind¶ependants.I. ...