CCP 2004 mathematiques 1 classe prepa tsi

CCP TSI 2004 Maths 1 page 1CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUESEPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSIMATHEMATIQUES 1Dur´ee : 4 heuresLes calculatrices sont autoris´ees????NB. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, a` la pr´ecision et `a laconcision de la r´edaction.Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il lesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il a ´et´e amen´e `a prendre.Objet : La transformation de Fourier est un outil employ´e en sciences de l’ing´enieur. Enplus d’ˆetre lin´eaire, elle v´erifie de nombreuses propri´et´es. Nous nous proposons d’en ´etablirquelques-unes en nous limitant `a un espace vectoriel particulier.I. - Pr´eliminaires∞On note C (R,C) l’espace vectoriel sur C des fonctions d´efinies, continues, infinimentd´erivables deR dansC.2∞ −πtOnnoteP lesous-espacevectorieldeC (R,C)desfonctionsf delaformef(t)=P(t)eou` P est un polynˆome `a coefficients complexes.Pour tout n entier naturel, on noteP , le sous-espace vectoriel deP des fonctions f de lan2−πtforme f(t) = P(t)e ou` P est un polynˆome `a coefficients complexes de degr´e inf´erieurou ´egal `a n.I-1) Quelques endomorphismes qui nous seront utiles∞Soient T, D, S trois applications qui, `a une fonction f deC (R,C) associent respec-tivement les fonctions suivantes :T(f)=g avec pour tout t r´eel g(t)=tf(t)0D(f)=fS(f)=h avec pour tout t r´eel ...