CCP 2003 mathematiques 2 classe prepa tsi

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 2 Durée : 3 heures Les calculatrices sont autorisØes. NB. : Le candidat attachera la plus grande importance la clartØ, la prØcision et la concision de la rØdaction. Si un candidat est amenØ repØrer ce qui peut lui sem bler Œtre une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a ØtØ amenØ prendre. M (C) (resp. M (R)) est l’anneau des matrices carrées 3 × 3 à coefficients dans C (resp. dans R). On 3 30 1 0  note I la matrice identité, et F = 0 0 1 la matrice dite de Frobenius.  1 0 0 L’objet de ce problème est d’étudier le sous-anneau de M (C) engendré par F, et d’en donner 3quelques applications. Les parties II et III sont, dans une large mesure, indépendantes. Partie I : Dans toute cette partie, on travaille dans M (C). 31. Soit χ (t) = det (F – tI) le polynôme caractéristique de F. Donner χ (t) et en déduire que F est F Fi2π diagonalisable sur C. On posera j = exp .  3 2. On note :  x y z   2 3   3A = {xI + yF + zF , (x, y, z) ∈ C }= z x y ,(x, y, z)∈ C    y z x   a/ Montrer que A est un sous-espace vectoriel de M (C), dont on donnera une base et la dimension. 3b/ Montrer que le produit de deux éléments de A est commutatif et reste dans A. 3. Montrer que tous les éléments de A sont diagonalisables dans une même base. 24. ...