Capesint composition de mathematiques 2006 capes maths capes de mathematiques

CAPES interne 2006Probl`eme 1NotationsDans le probl`eme, pour toute fonction h d´efinie et d´erivable sur un intervalle I `a valeurs dansR,′on note h sa fonction d´eriv´ee.On note E l’ensemble des fonctions f d´efinies et continues sur l’intervalle [0; 1], d´erivables surl’intervalle [0; 1[, `a valeurs dansR et v´erifiant les propri´et´es suivantes :• f(0) = 0• f(1) = 1′ ′′• f est d´erivable sur [0; 1[ et on note f sa fonction d´eriv´ee′• ∀x∈ [0 ; l[, f (x)> 0′′• ∀x∈ [0 ; l[, f (x)> 0.Pour toute fonction f de E, on note :˜ ˜• f la fonction associ´ee `a f, d´efinie sur l’intervalle [0; 1] par f(x) =x−f(x);Z Z1 1˜• I(f) le r´eel d´efini par I(f) = 2 f(x)dx = 2 [x−f(x)]dx.0 0I(f) est appel´e indice de Gini de f.On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [0; 1] est monotone ou strictement mo-notone sur l’intervalle ]0; l[, il en est de mˆeme sur l’intervalle [0; 1].´Partie I Etude de quelques ´el´ements de E1. Soit f la fonction num´erique de variable r´eelle x d´efinie sur l’intervalle [0; 1] par : 3 2xxf(x) =λ + +x ou` λ est le nombre r´eel tel que f(1) = 1.3 21.1. Pr´eciser la valeur de λ.1.2. D´emontrer que f est un ´el´ement de E.1.3. D´emontrer que pour tout x appartenant a` [0; 1] : x−f(x)> 0.′1.4. Dresser le tableau de variation de f. On pr´ecisera les valeurs exactes prises par f en 0et 1.1.5. Tracer la courbe repr´esentative de f dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal d’unit´egraphique 10 cm.1.6. Application ...