Capesext deuxieme composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

À propos d’un théorème de Tchebychevsur la répartition des nombres premiersIntroductionÉtant donné un entier naturel n, on considère (n) le nombre de nombres pre-miers compris entre 0 etn. Ce sujet s’intéresse au comportement de la suite ((n)) .nIl est composé de deux grandes parties A et B.La partie A vise à établir l’encadrement suivant :n n(ln 2) 6(n)6 elnn lnnvalable pour tout n> 3. Elle est composée de deux sous-parties, A.I et A.II, consa-crées respectivement à la minoration et à la majoration annoncées.Ce genre d’encadrement suggère l’existence d’un lien asymptotique fort entre nles suites ((n)) et . La partie B s’intéresse à cette question puisque sonnlnn nobjectif principal est de montrer le résultat suivant :n1 Théorème.— (Tchebychev ) S’il existe un réel c> 0 telle que (n) c alorsn lnnnécessairement c = 1.Elle est composée de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C’est dans la par-tie B.III qu’on établit le théorème annoncé. La preuve qu’on en propose repose sur !X 1l’étude du comportement asymptotique de la suite . Cette étude estpp premier6n nréalisée au début de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont consacrées à l’éta-blissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I on établit une2formule due à Legendre qui donne l’expression de la valuationp-adique den!. Dans3la partie B.II on démontre un théorème de Mertens qui précise le comportement !X lnpasymptotique de la suite . La partie B ...