Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie novembre groupement A

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie novembre 2007 - groupement A Exercice 1 9 points On considère la fonction numérique paire, 2pi-périodique, définie sur l'intervalle [0 ; pi] par : ? ? ? f (t) = cos(t) si 06 t < pi 2 f (1) = 0 si pi 2 6 t 6pi On a tracé en pointillé sur le document-réponse la courbe representative de la fonc- tion cosinus sur l'intervalle [?pi ; 3pi]. 1. Représenter. sur le document réponse à rendre avec la copie la fonction f sur l'intervalle [?pi ; 3pi]. 2. Onadmet que la fonction f satisfait aux conditions d'application du théorème de Dirichlet et, par conséquent qu'elle est décomposable en série de Fourier. On note : S(t)= a0+ ∑ n>1 [an cos(nt)+bn sin(nt)] la série de Fourier associée à la fonction f . a. Donner la valeur de bn pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1. b. Calculer a0. c. Calculer a1. d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : an = 1 pi ? ? ? sin [ (n?1) pi 2 ] n?1 + sin [ (n+1) pi 2 ] n+1 ? ?

• courbe representative de la fonc


• conditions d'application du théorème de dirichlet


• tion cosinus sur l'intervalle