1UE Calcul differentiel Corrige succinct de l'epreuve du juin

1UE Calcul differentiel Corrige succinct de l'epreuve du 9 juin 2008 Exercice 1 . 1. En appliquant l'hypothese au vecteur h + k on a l'egalite ?(dfx(h + k),dfx(h + k)) = ?(h + k, h + k) , qui se « developpe» par bilinearite et donne, en utilisant a nouveau l'hypothese, pour les vecteurs h et k, ainsi que la symetrie de ?, ?(dfx(h),dfx(k)) = ?(h, k) . 2. Par differentiation de la fonction (identiquement nulle !) x 7? ?(dfx(h),dfx(k)) ? ?(h, k) dans la direction y on obtient ?(d2fx(h, y),dfx(k)) + ?(dfx(h),d 2fx(k, y)) = 0 , ou encore, par symetrie de ?, ?(d2fx(h, y),dfx(k)) = ??(d 2fx(k, y),dfx(h)) . Par suite, en echangeant les roles de y et de h, ?(d2fx(y, h),dfx(k)) = ??(d 2fx(k, h),dfx(y)) , tandis qu'en echangeant les roles de y et de k, ?(d2fx(h, k)

• theoreme d'inversion globale


• application constante


• ?b? a?2


• continuite de ?


• ?x? a?2


• classe c∞