Problème de Bogomolov sur les variétés abéliennes - Soutenance de thèse

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Problème de Bogomolov sur les variétés abéliennes - Soutenance de thèse

Sazef - Aurélien Galateau

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Enonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennesVersions quantitatives de la conjecture de BogomolovResultats de la these et aper cu des methodesProbleme de Bogomolov sur les varietes abeliennesSoutenance de theseAurelien GalateauUniversite Paris 613 Decembre 2007Aurelien Galateau Probleme de Bogomolov sur les varietes abeliennesEnonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennesVersions quantitatives de la conjecture de BogomolovResultats de la these et aper cu des methodes1 Enonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennesTheoremes de nitude en geometrie diophantienneHauteur sur les varietes abeliennesConjecture de Bogomolov2 Versions quantitatives de la conjecture de BogomolovMinoration du minimum essentiel et theoreme d’uniformiteLien avec une version explicite du theoreme de FaltingsMinoration precise du minimum essentiel selon le degreApplication a la conjecture de Zilber-Pink3 Resultats de la these et aper cu des methodesLe theoreme principalOrganisation de la theseProprietes p-adiques des points de torsion d’une varieteabelienneAurelien Galateau Probleme de Bogomolov sur les varietes abeliennesEnonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennes Theoremes de nitude en geometrie diophantienneVersions quantitatives de la conjecture de Bogomolov Hauteur sur les varietes abeliennesResultats de la these et aper cu des methodes Conjecture ...

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Publié par	Sazef
Nombre de lectures	73
Langue	Français

Extrait

Enonc´esdeﬁnituedteahtuuesruslrvaes´eriest´´eabneilVsenisreqsnoitatuantdelaivesceutocjnoBogered´evRlomosdatltsuse`htale¸repateehtdoseucedmse´orPue`lbedemogoBr´AuieelalnGeaattee´as´bleeinnsemolovsurlesvari´

13D´ecembre2007

Aur´elienGalateau

Universite´Paris6

Probl`emedeBogomolovsurlesvarie´t´esab´eliennes Soutenancedethe`se

e`seetap¸ R´esultatsdelathercudesme´thodes Lethe´or`emeprincipal Organisationdelathe`se Proprie´te´spevari´et´oidnu’enstedotsressdinpoad-ueiq ab´elienne

Versions quantitatives de la conjecture de Bogomolov Minorationduminimumessentieletth´eor`emed’uniformite´ Lienavecuneversionexpliciteduth´eor`emedeFaltings Minorationpr´eciseduminimumessentielselonledegr´e Applicationa`laconjecturedeZilber-Pink

Enonc´esdeﬁnitudeethauteurssurlesvari´ete´sab´eliennes Th´`sdeﬁnitudeenge´ome´triediophantienne eoreme Hauteursurlesvari´et´b´liennes es a e Conjecture de Bogomolov

neslienGalaAur´e`lmedeBeetuarPborlsuvaesomogovole´baneile´irse´t´cnonEssruetrura´ielvsﬁnitesdethauudeeanqutatirsVensioeilesenne´te´basomolovR´uredeBogcanoejtcitevdslem´esud¸cerapetsee`htaledstatluseedsteoh

ssruetrura´ielvssab´et´enneseliesnoisreVatitnauqelsdvetictjeonacnE´cnodeesitﬁneeudauthtnahpoideirte´mo´engeeuditﬁndeesbae´´tseire´seavsurlteureHauiennalede`htlusestatolomR´ovedurogeB´hoe`rmeteohedTs¸cudesm´seetapereBedomogovolneilCsenejnorutcsne

Conjecture de Mordell

Th´eor`eme(Faltings,1983) SoitCunecourbealge´briquede´ﬁniesuruncorpsdenombresKet de genre g≥2. Alors l’ensemble C(K)est ﬁni.

surlesvaogomolovbae´ilneire´´tselaGaenli´eurABedeme`lborPuaet

emedoBogomolsvrunGalateauProbl`eeilesenn

The´or`eme(Raynaud,1983) Si C est de genre g≥2, les points de torsion de J(C)qui sont dans C sont en nombre ﬁni.

Conjecture de Manin-Mumford

svlei´ar´eetb´saejnorutcBedemogoovolesR´tauldetseinnseeVsroisnuqantitativesdelacetuahteeelrussrueti´arsvelb´sa´ec´esEnonituddeﬁnBegomoloejtcrudeennesConesab´eliirav´te´usruselreHnnteauhaopienteiide´rte´moeegnituddeﬁnemeseor`´hTsedohte´msedu¸cerapetse`ethlaAur´elievo

nesVersiab´elienire´´tseuslrseavtuecdereladenjcotatiseviqsnotnaueetah`eselatatsdustlRve´omoloBogeﬁsdme`eor´eThesdohte´mseduc¸repteedutinsruetuahnoEeﬁsd´enc´et´opriPrtuniendeeog´etm´deirhpoiitnaenneHauteursurlesvar´itee´as´bleeinnecnjCoesBoderetuvolomog

D´eﬁnition(intuitive) Unehauteursurunevarie´t´eV(projective)estune“fonctionde comptage”: h:V→R+“alrerusemedtemret´xilempcoquipe arithm´etique”despointsdeV.

Hauteurs

senneilab´et´esri´eesvauslrlovogomodeBeiopedinﬁedVedstnu’aq’ylnrembnounedxueDHtslI.´reeorthedeNSoitcottalaGuaetborPme`l´egr.A≤D´eurenlisiusurcnrospededhauteur≤Hetd´eﬁn

AuienGr´elmogoBodeleurvsloPuaetalaeme`lborsa´eelb´arsveti´

Proprie´t´edeNorthcott SoitDetHnyaquunnombreﬁduerxe´le.slIedinniopedstV ’ ’ de hauteur≤Hr´enuocssrudegeprdsd´etnieﬁ≤D.

D´eﬁnition(intuitive) Unehauteursurunevarie´t´eV(projective)estune“fonctionde comptage”: h:V→R+qui permet de mesurer la “compl it´ ex e arithme´tique”despointsdeV.

nnei

Hauteurs

seeti´sa´eleurarsvetuassrudutihteec´esdeﬁnEnonneene´ilsebae´´teBoguredjectsConHenneitnahpoideirivaesrlsuurteaulomovoonjeelacedeBcturlovogomoluat´Rsennieelb´iorsVeesitnauqsndsevitatsTh´eor`emesdeﬁntidueegne´moe´rtdetsthlase`eapetc¸resedute´medoh

dsevitatejnocaleeBedurctovolomogluat´Rsealhtstedetap`eseudeser¸cse´cnﬁeddutihteeteaussurleurarsv´itee´as´bleeinnesVersionsquantinEnoolomovedurogeBCsnoejtce´ilneen´et´esabrlesvariusruetuaHenneitnhaopdiietr´eom´eeegntiduednﬁmeseeor`sTh´hodem´etvsraruele´as´iteiennb´el

SoitAiennb´eliedeemunenavu´taeire´Lun ﬁb ´ ample et re sym´etrique.Ondisposed’unehauteurprojectiveh. On construit ˆ parpassagea`lalimiteunehauteurcanoniqueh:

Hauteur canonique

talaGneilborPuaeBodeme`evslomogo|h(x)−ˆhive∀x∈A:.)uA´rlex(|)C≤A(ocPrdeheZ,n∈A.P∈orprtcejahaluetu(nP)peˆhgrouoideotsuopru(h)Pn=ˆ2lala`elbitapmoC

PoretuaaGalilnerue´A).A|≤C(h(x)x)−ˆ(h|:A∈x∀evitcejoprurteauaheledchneilVsenisreqsnontuaatitesivladeedteahtuuesruslresvari´et´esab´ese`htale¸repatee´esmdecuThesodthceutocjnoBogeredvR´emoloatsdsultneenutHaphiotianravste´isrueelrusdeﬁnitu´eor`eme´mteirdeedne´goevloesCoiennb´el´esaogomedoButerjnce`lmerPbogomodeBesuErnloonlco´versid´eeﬁensivtaue´base´tsenneil

Compatiblea`laloidegroupe ˆ2ˆ h(nP) =n h(P) pour tousn∈Z,P∈A.

Hauteur canonique

SoitA´iravenuedniee´tee´baneilumenLunr´ﬁbmpeaelte sym´etrique.Ondisposed’unehauteurprojectiveh construit. On ˆ parpassagea`lalimiteunehauteurcanoniqueh:

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