Corrigé mathématiques bac S (2017)

Correction: Métropole 21 juin 2017 Exercice 1 Partie A −x 1. hdéfinie sur[0 ;+ ∞[parh(x)=xe x x1 e On ah(x)= =lim =. Or+∞. Par quotient,limh(x)= 0 x x x→+∞xx→+∞ e e x −x−x−x 2. hcomme produit de 2 fonctions dérivables est dérivable eth '(x)=e−xe=(1−x)e On en déduit le tableau de variations. x0 1 +∞ h '(x)+ 0 – 1 h(x) e 0 0 −x−x−x−x 3. a.On a:e−h '(x)=e−(1−x)e=e(1−1+x)=h(x)pour toutx −x−x b. x ea pour primitivex −e −x c.Commeh(x)=e−h '(x), une primitive H dehest la différence des primitives dex et deh ' −x−x SoitH(x)=−e−h(x)=(−x−1)e Partie B 1. a.On a clairementf(x)>g(x)pour toutxet la différencef(x)−g(x)est égale à MN −x d’où MN=xe=h(x) 1 Orhenadmet son maximumx=1 d’aprèsla partie A. e b.Voir annexe 2. a.Voir annexe λ λλ −λ−0 ∫ ∫∫ −( )=(− −)−(−) b.On aAλ=f(x)dx−g(x)dx=h(x)dx=H(λ)H 0ee 1λ 1 0 00 λ+1 oitA sλ=1− λ e λ+1 λ 1λ 1 c.On a= +. Pour des raisons déjà évoquées,lim=0 etlim=0. λ λλλ λ e eee e λ→+∞λ→+∞ Par somme,lim A=1 λ λ→+∞ L’aire délimitée par les deux courbesCetCest égale à 1. f g 3. a.On fait “tourner” l’algorithme et on obtient λ=3 2+1 3+1 En effet1− 0.8 2 3 e e b.Cet algorithme donne le premier entier λ pour lequelAdépasse une valeurSdonnée. λ Exercice 2 2 1.SoitPle plan d’équation cartésienne :2x−z−3=0et A(1;a;a) −x e 2 2 ∉ Si on fait:2xA−zA−3=2−a−3=−1−a ≠0ceci pour touta. Donc AP 2 2. a.