Perles mathématiques pour un tricentenaire trois problèmes inspirés d'Euler Ces trois problèmes niveau lycée illustrent l'article publié dans le BV nov déc intitulé Euler ou l'art de chercher découvrir inventer I Le problème de Bâle Pour n entier naturel non nul soit

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Perles mathématiques pour un tricentenaire : trois problèmes inspirés d'Euler (1707 – 1783) Ces trois problèmes, niveau lycée, illustrent l'article publié dans le BV 473 (nov-déc. 2007) intitulé : « Euler, ou l'art de chercher, découvrir, inventer ». I. Le problème de Bâle. Pour n entier naturel non nul, soit 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 n S n = + + + + + et l i m n n S S ? +? = . On se propose de calculer une valeur approchée de S, puis la valeur exacte de S, en nous appuyant sur les méthodes mises en place par Euler tout en se situant dans un enseignement de classe terminale au lycée. 1. Existence de S et premiers encadrements. a) Vérifier l' identité 1 1 1 ( 1) 1k k k k = ? + + ; en déduire pour tout n l'inégalité 1 2 n S n < ? b) En déduire que S existe et proposer un premier encadrement de S par deux entiers consécutifs. c) Vérifier l'identité 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) k k k k k k k ? ? = ? + + + Soit 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ... 1 2 2 3 3 4 ( 1) n S

• méthode d'euler pour l'obtention


• points de la parabole d'abscisses respectives


• relations entre les côtés


• parabole


• euler


• solutions entières de l'équation


• côtés proportionnels aux côtés du triangle abc