Licence 3eme annee
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Niveau: Secondaire, Collège, TroisièmeProbabilites et Statistiques Licence 3eme annee Universite d'Orleans Nils Berglund Version de Mars 2010 probabilite de l'evenement elementaire probabilites differentes aux differentes faces theorie des probabilites tests d'adequation et d'independance du ?2 convergence en loi intervalles de confiance pour les parametres sensible des conditions initiales independance
Voir
Probabilit´es
et
Statistiques
Licence3`emeann´ee
Universit´ed’Orle´ans
Nils Berglund
Version
de
Mars
2010
Table des matieres `
1Probabilit´esdiscr`etes1 1.1Espaceprobabilis´ediscret............................1 1.1.1Probabilit´esconditionnelles.......................4 1.1.2Inde´pendance...............................6 1.2Variablesale´atoires................................7 1.2.1Loid’unevariableal´eatoire.......................8 1.2.2 Esperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ´ 1.2.3 Variance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4Fonctiong´en´eratrice...........................14 2Probabilite´scontinues17 2.1Variablesal´eatoiresre´ellesa`densite......................17 ´ 2.1.1Densit´eetfonctiondere´partition....................17 2.1.2Espe´ranceetvariance..........................21 2.1.3Fonctioncaract´eristique.........................22 2.1.4 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2Vecteursal´eatoires`adensite´...........................24 2.2.1Densite´conjointe.............................24 2.2.2Inde´pendance,convolution........................28 2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3Mesuresdeprobabilit´eetespacesprobabilise´s?. . . . . . . . . . . . . 33. . . 2.3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3Int´egraledeLebesgue..........................35 3Th´eor`emeslimite39 3.1 La “loi des petits nombres” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Convergence en distance`1 41. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2Grandesde´viations? 44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3.3Lethe´ore`medelalimitecentrale........................45 3.3.1 Cas de la loi binomiale : formule de Moivre–Laplace . . . . . . . . . 46 3.3.2Casg´ene´ral................................48
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` TABLE DES MATIERES
Introduction`alastatistique 4.1 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Estimateurs empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Estimateur de maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Intervalle de confiance pour une proportion . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2Intervallesdeconfiancepourlesparam`etresd’uneloigaussienne.. 4.3Testd’hypoth`eses................................. 4.3.1 Tests sur une loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.3.2Testsd’ade´quationetd’inde´pendanceduχ. . . . . . . . . . . . . .
51 51 52 53 55 55 56 59 60 61
Chapitre 1
Probabilite´sdiscr`etes
Lathe´oriedesprobabilite´sserta`mod´eliserdessituationsdontnotreconnaissanceest imparfaite.Lemanqued’informationsestalorsremplac´eparunecomposanteal´eatoire. Parexemple,lorsdujetd’unde´,lesloisdeNewtondevraientenprincipenouspermet-tredecalculerlatrajectoireexactedude´,connaissantsapositionetsavitesseinitiales, etd’ende´duiresurquellefaceilvatomber.Enpratique,nonseulementcecalculest extreˆmementdifficile,maisler´esultatde´pendaussidemanie`retr`essensibledesconditions initiales.Ilestalorsplussimpled’admettrequeled´epeuttombersurchacunedesessix facesaveclamˆemetie´obprilabde 1/irte´mysonis–euqutpeiln,(6isel´deestparfaitement ˆetreprefe´rabled’associerdesprobabilit´esdiff´erentesauxdiffe´rentesfaces). ´ Enthe´oriedesprobabilite´s,onsupposedonn´esunensembleder´esultatspossiblesde l’“expe´rience”conside´r´ee,etleursprobabilit´esrespectives.Oncherchealorsa`end´eduireles probabilit´esd’´ev´enementspluscomplique´s,oulesre´sultatsd’expe´riencespluscomplexes, commeparexemplelelancerd’ungrandnombredede´s.
1.1Espaceprobabilise´discret Unespaceprobabilis´ediscretestcaracte´ris´epartroisingr´edients: 1. UnuniversΩ: c’est l’ensemble dese´ne´vneme´etseml´taenesired’lxe´preeicn,esuppos´e icidiscret(finioud´enombrable). 2. Un ensemble d’´ve´menestne(ou´ssemoop´´eevmenescnt)Fuo´tt:nemeev´entA∈ Fest un sous-ensemble de Ω (A⊂Ω). 3. Uneisdndeprobatributioibil´tep: Ω→[0,1], satisfaisant Xp(ω) = 1.(1.1.1) ω∈Ω Pour toutω∈Ω,p(ω)eeealep´ltspav´´el’de´eitilabtneme´le´tnemeneerrpibaoω. Exemple 1.1.1. 1.Pourunjetded´e(nonpipe´),onpourraprendrel’universΩ={1,2,3,4,5,6}, et comme distributionp(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω (distributionuniforme). Un exemple d’e´v´enementcompose´estA={ω:ωest pair}={2,4,6}. 2.Pourunjetdedeuxpie`cesdemonnaie,pouvantindiquerPile(P)ouFace(F),on peut prendre Ω ={PP,PF,FP,FF}, avecp(ω) = 1/4 pour toutω∈Ω.
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´ ` CHAPITRE 1. PROBABILITES DISCRETES
3. Si l’on tire successivement trois boules d’un sac contenant exactement trois boules num´erot´eesde1a`3,onpourraprendreΩ={(1,2,3),(1,3,2), . . . ,(3,2,1)}, de nou-veau avec la distribution uniformep(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω. Remarque 1.1.2.Le choix de l’univers Ω n’est pas unique, en fait on peut choisir n’importequelensemblecontenantaumoinsautantd’´el´ementsqu’ilyad’´ev´enements conside´re´scommedistinguablesparl’expe´rience.Parexemple,danslecasdedeuxpi`eces, onauraitpuconsid´ererqu’onnesaitpasdistinguerlespi`ecesl’unedel’autre,etchoisir Ω ={PP,PF,FF}isngle´’siP,dFe´nt“lesdeev´enemesensptnoipxuece`estoas´embfoteet.C dumeˆmecˆot´e”.Onprendraalorsp(PP) =p(FF) = 1/4, etp(PF) = 1/2. De´finition1.1.3(Espaceprobabiil´sdesircte).Unpaesprceabobisilide´ercsΩ(t, p)est donne´parunensemblede´nombrableΩet une applicationp: Ω→[0,1]telle que Xp(ω) = 1.(1.1.2) ω∈Ω Remarque 1.1.4.ossibiliexclulapvanopssaoNsu’nnfinitiosecsnaD.il’ueeqt´sΩerivun cas,lasomme(1.1.2)doiteˆtreconside´r´eecommelasommed’unese´rienum´erique.Comme touslestermesdelase´riesontnon-ne´gatifs,lasommeestinde´pendantedeleurordre(ce quin’estpasne´cessairementlecaspourdesse´riesa`termespositifsetn´egatifs). Exemple 1.1.5.eimeliprnoitrpudao’`enbtejecquusetnupe`iOjntesalorpeute.On choisir Ω =N∗o,u`ω∈tbontneirpeleimeilrpe,oleuqudsroltejudro´eumenelgnsi´edΩ avecp(ω) = 2−ωI.sla’igitic’dunexempled’univemone´dsramelbarbi.fininisnieabOn Xp(ω) =X∞12i= 1.(1.1.3) ω∈Ωi=1 ´ De´finition1.1.6E(env´neme)st.L’espace desnements´ev´e(ous´eosmpmenestoce´´vne) d’unespaceprobabilise´discret(Ω, p)est l’ensemble des parties deΩ: F=P(Ω) ={A:A⊂Ω}.(1.1.4) La´tilibabproentmene´eve´’ledAest P(A) =Xp(ω). ω∈A L’ensemble vide∅est l’poimibssleve´ene´tnemetP(∅) = 0ion.finitrd´epa L’univers entierΩest l’niatrecntmene´eev´. Lesope´rationslogiques´el´ementairessurles´eve´nementscorrespondent`adesope´rations deth´eoriedesensembles,selonletableausuivant: ´ Op´erationlogiqueEquivalentensembliste AetB A∩B AouB A∪B nonA Ac= Ω\A A,BincompatiblesA∩B=∅ AimpliqueB A⊂B
(1.1.5)
