Une introduction aux séries et intégrales généralisées , livre ebook

Cet ouvrage contient l’essentiel sur les séries et intégrales généralisées, incluant celles qui dépendent d’un paramètre. Ces dernières permettent de calculer, de façon indirecte, les valeurs de certaines intégrales ou sommes de séries, qu’on ne sait pas calculer directement.
Les intégrales généralisées étudiées ici sont définies à partir de l’intégrale de Riemann. Un chapitre est consacré à la définition et aux propriétés utiles de l’intégrale de Riemann. Les deux derniers chapitres présentent les bases de l’analyse harmonique.
Tous les résultats énoncés sont démontrés de manière détaillée. Et chaque chapitre se termine par une liste de dix exercices corrigés.
Cet ouvrage s’adresse aux étudiants en licences de mathématiques à partir de la seconde année, à d’autres licences scientifiques, ainsi qu’aux classes préparatoires mathématiques et physique.

Préface 

1 Rappels et compléments 1

1.1 Éléments de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Dérivée et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Intégrale de Riemann 7

2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Complément : intégrations des fonctions de deux variables . . . 25

3 Séries numériques 31

3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Produit de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Intégrales généralisées 55

4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Suites et séries de fonctions 75

5.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Les critères de Cauchy et d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3 Continuité des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Théorème de la double limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5 Intégration des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6 Dérivée de la limite d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . 84

5.7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Fonctions définies par des intégrales 97

6.1 Fonctions définies par des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Fonctions définies par des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3 Critères de convergence uniforme des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4 Suites définies par des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6 Complément : intégration des fonctions définies par des intégrales généralisées .. . . . 124

7 Séries entières 127

7.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2 Dérivation terme à terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.3 Un exemple de calcul de coefficients par la méthode de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.4 Un théorème d’Abel radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Séries de Fourier 147

8.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.2 Théorème de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.3 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.4 Autres résultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.5 Identité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9 Transformée de Fourier 177

9.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.2 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.3 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

A Développements limités 195

A.1 Généralités sur les développements limités . . . . . . . . . . . . 195

A.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . 201

Index 207