Symétries continues , livre ebook

Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.
Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.
Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.
Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII.
Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.

Sommaire

Table des matières

Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

I Transformations de symétrie 1

A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6

C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27

AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 33

1 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

BI Théorème de Noether pour un champ classique 41

1 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 43

3 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45

II Notions sur la théorie des groupes 47

A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48

B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58

AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 67

1 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71

A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101

AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 111

1 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 111

2 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 115

4 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

IV Représentations induites dans l’espace des états 119

A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121

B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128

D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130

E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135

AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 143

1 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 151

1 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 159

A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160

B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 195

1 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 202

3 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 209

1 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

2 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 211

3 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

CV Groupe des déplacements géométriques 217

1 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 218

2 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227

DV Réflexions d’espace (parité) 237

1 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

2 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 239

3 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245

A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246

B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259

AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite non relativiste 277

1 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

2 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280

BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états de Dirac 285

1 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

2 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

3 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291

CVI Lagrangiens et relations de conservation des équations d’onde 299

1 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

4 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

VII Groupe des rotations, moments cinétiques, spineurs 311

A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312

B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338

AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 347

1 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par une matrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

2 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 349

3 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

4 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 352

5 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354

BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 355

1 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 355

2 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

VIII Transformation des observables par rotation 363

A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366

B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 405

1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

2 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

4 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

5 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 411

6 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

7 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 417

1 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 417

2 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419

CVIII Les moments multipolaires 423

1 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 424

2 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 437

3 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442

DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels irréductibles 447

1 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

2 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

3 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

4 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453

IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457

A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459

B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475

C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 507

1 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

2 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 509

3 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 513

1 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

2 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

X Brisures de symétrie 517

A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518

B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

APPENDICE 533

Renversement du temps 533

1 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 534

2 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

3 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 547

4 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 555

5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Bibliographie 569